Question

如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，點C的坐標為（－18，0）。

（1）求點B的坐標；
（2）若直線DE交梯形對角線BO于點D，交y軸于點E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；
（3）若點P是（2）中直線DE上的一個動點，在坐標平面內是否存在點Q，使以O、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）（－6，12）（2）y=－x+4（3）結論：存在。點Q的坐標為：（2 ，－2 ），（－2 ，2 ），（4，4），（－2，2）

解：（1）過點B作BF⊥x軸于F，

在Rt△BCF中
∵∠BCO=45°，BC=12，∴CF="BF=12" 。  
∵C 的坐標為（－18，0），∴AB=OF=6。
∴點B的坐標為（－6，12）。
（2）過點D作DG⊥y軸于點G，
∵OD=2BD，∴OD=OB。
∵AB∥DG，∴△ODG∽△OBA 。     
∵，AB=6，OA=12，∴DG=4，OG=8。∴D（－4，8），E（0，4）。
設直線DE解析式為y=kx+b（k≠0）
∴，解得。∴直線DE解析式為y=－x+4。
（3）結論：存在。
點Q的坐標為：（2 ，－2 ），（－2 ，2 ），（4，4），（－2，2）。
（1）構造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的長度，即可求出B點坐標。
（2）已知E點坐標，欲求直線DE的解析式，需要求出D點的坐標．構造△ODG∽△OBA，由線段比例關系求出D點坐標，從而可以求出直線DE的解析式。
（3）如圖所示，符合題意的點Q有4個：

設直線y=－x+4分別與x軸、y軸交于點E、點F，
則E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4。
①菱形OEP₁Q₁，此時OE為菱形一邊。
則有P₁E=P₁Q₁=OE=4，P₁F=EF－P₁E=4－4。
易知△P₁NF為等腰直角三角形，
∴P₁N=NF=P₁F=4－2。
設P₁Q₁交x軸于點N，則NQ₁=P₁Q₁－P₁N=4－（4－2）=2。
又ON=OF－NF=2，∴Q₁（2 ，－2）。
②菱形OEP₂Q₂，此時OE為菱形一邊。此時Q₂與Q₁關于原點對稱，∴Q₂（－2，2）。
③菱形OEQ₃P₃，此時OE為菱形一邊。
此時P₃與點F重合，菱形OEQ₃P₃為正方形，∴Q₃（4，4）。
④菱形OP₄EQ₄，此時OE為菱形對角線。
由菱形性質可知，P₄Q₄為OE的垂直平分線，
由OE=4，得P₄縱坐標為2，代入直線解析式y=－x+4得橫坐標為2，則P₄（2，2）。
由菱形性質可知，P₄、Q₄關于OE或x軸對稱，∴Q₄（－2，2）。
綜上所述，存在點Q，使以O、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形，點Q的坐標為：
Q₁（2，－2），Q₂（－2，2），Q₃（4，4），Q₄（－2，2）。