Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠PCB=∠COB

(1)求證：PC為⊙O的切線(2)求證：BC=AB
(3)若點M是弧AB的中點，CM交AB于N，若AB=8，求MN·MC的值

Answer 1

(1) 、(2)證明見解析(3)32

①證∠OCP=90° （3分）
②證得△OBC為等邊三角形 BC=BO=AO （7分）
③MN·MC=32  （12分）
（1）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可；根據圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線；
（2）AB是直徑；故只需證明BC與半徑相等即可；
（3）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM，進而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC；代入數據可得MN•MC=BM²=32