Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，O是BC上一點，以點O為圓心，OB長為半徑作圓，恰好經過點A，并與BC交于點D．
（1）判斷直線CA與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AB=2

3

，求圖中陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

（1）直線CA與⊙O相切．
如圖，連接OA．
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，∠DOA=2∠B=60°．
∴∠CAO=90°，即OA⊥CA．
∵點A在⊙O上，
∴直線CA與⊙O相切；

（2）∵AB=2

3

，AB=AC，
∴AC=2

3

，
∵OA⊥CA，∠C=30°，
∴OA=AC•tan30°=2

3

•

3

3

=2．
∴S_扇形OAD=

60π×22

360

=

2

3

π．
∴圖中陰影部分的面積等于S_△AOC-S_扇形OAD=2

3

-

2

3

π．