Question

19．如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOC=100°，∠AOB=α．以OB為邊作等邊三角形△BOD，連接CD．
（1）求證：△ABO≌△CBD；
（2）當α=150°時，試判斷△COD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當α為多少度時，△COD是等腰三角形？（直接寫結論）

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質證明△ABO≌△CBD即可；
（2）是直角三角形；利用△BAO≌△BCD，得到∠BDC=∠AOB=150°，再分別求出∠CDO、∠COD即可解答．
（3）分三種情況討論，即可解答．

解答 解：（1）∵△ABC和△OBD都是等邊三角形，
∴BA=BC，BO=BD，∠ABC=∠OBD=60°
∴∠ABC-∠OBC=∠OBD-∠OBC，即∠ABO=∠CBD，
在△ABO和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABO=∠CBD}\\{BO=BD}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△CBD（SAS）．
（2）直角三角形；
理由：∵△BAO≌△BCD
∴∠BDC=∠AOB=150°
又∵∠ODB=∠OBD=60°
∴∠CDO=360°-100°-150°-60°=50°
∴△COD是直角三角形．
（3）①要使CO=CD，需∠COD=∠ADO，
∴210°-α=α-50°，
∴α=130°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠CDO，
∴α-50°=50°，
∴α=100°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，
∴210°-α=110°，
∴α=160°．
所以當α為100°、130°、160°時，△AOD是等腰三角形．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質．解答（3）題時，注意充分利用隱藏于題中的已知條件--周角是360°．