Question

（9分）已知，，（如圖）．是射線上的動點（點與點不重合），是線段的中點．
（1）設，的面積為，求關于的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）如果以線段為直徑的圓與以線段為直徑的圓外切，求線段的長；
（3）連結，交線段于點，如果以為頂點的三角形與相似，求線段的長．

Answer 1

解：（1）取中點，連結，
為的中點，，．································ 1分
又，．·································································· 2分
，得；··············································· 3分
（2）過D作DP⊥BC，垂足為P，∠DAB=∠ABC=∠BPD=90°，
∴四邊形ABPD是矩形．
以線段為直徑的圓與以線段為直徑的圓外切，
，又，∴DE=BE+AD-AB=x+4-2=x+2……4分
PD=AB=2，PE= x-4，DE²= PD²+ PE²，…………………………………………………5分
∴（x+2）²=2²+（x-4）²，解得：．
∴線段的長為．…………………………………………………………………………6分
（3）由已知，以為頂點的三角形與相似，
又易證得．··································································· 7分
由此可知，另一對對應角相等有兩種情況：①；②．
①當時，，．．
，易得．得；················································ 8分
②當時，，．
．又，．
，即=，得x²=[2²+（x-4）²]．
解得，（舍去）．即線段的長為2．······································· 9分
綜上所述，所求線段的長為8或2．

略