Question

如圖，點A、B在⊙O上，直線AC是⊙O的切線，OD⊥OB，連接AB交OC于點D．
（1）求證：AC=CD；
（2）若AC=2，AO=，求OD的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的性質可得出，∠OAC=90°，再由已知條件得∠ODB+∠B=90°，由OA=OB可得出∠OAB=∠B，從而得出∠CAB=∠ADC，即AC=CD．
（2）利用勾股定理求出OC，即可得出OD的長．
解答：（1）證明：∵AC是⊙切線，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∴∠OAB+∠CAB=90°．
∵OC⊥OB，
∴∠COB=90°，
∴∠ODB+∠B=90°．
∵OA=OB
∴∠OAB=∠B，
∴∠CAB=∠ODB．
∵∠ODB=∠ADC，
∴∠CAB=∠ADC
∴AC=CD；

（2）解：在Rt△OAC中，OC==3，
∴OD=OC-CD，
=OC-AC，
=3-2，
=1．
點評：本題考查了切線的性質和勾股定理，證明線段的相等一般證明這個三角形的兩個角相等．