Question

如圖，AB為⊙O的直徑，D是⊙O 上一點，過D點作直線EF，BH⊥EF交⊙O于點C，垂足為H，且BD平分∠ABH．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AB=4，BH=3，求①BD；②求由弦BD和

BD

所組成的陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）利用角平分線的性質以及等腰三角形的性質得出DO∥HB，即可得出∠ODH=90°，進而得出答案；
（2）①首先得出△BDH∽BAD，進而利用相似三角形的性質得出即可；
②利用銳角三角函數關系得出∠DBA=30°以及NO的長，進而得出∠BOD的度數，再利用扇形面積公式和三角形面積求法得出即可．

解答：（1）證明：連接DO，
∵BD平分∠ABH，
∴∠HBD=∠DBA，
∵BO=DO，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠HDB，
∴DO∥HB，
∵BH⊥EF，
∴∠ODH=90°，
∴EF是⊙O的切線；

（2）解：①連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BHD=∠ADB，
∵∠HBD=∠DBA，
∴△BDH∽BAD，
∴

BD

AB

=

BH

BD

，
∴BD²=4×3=12，
∴BD=2

3

；

②過點O作ON⊥BD于點N，
∵BD=2

3

，AB=4，
∴cos∠DBA=

BD

AB

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠DBA=30°，
∴ON=

1

2

BO=

1

2

×2=1，∠BON=60°，
∴∠BOD=120°，
∴弦BD和

BD

所組成的陰影部分的面積為：S_扇形BOD-S_△BOD=

120π×22

360

-

1

2

×1×2

3

=

4

3

π-

3

．

點評：此題主要考查了切線的判定與性質以及相似三角形的性質與判定和扇形面積求法和銳角三角函數關系等知識，根據已知得出△BDH∽BAD是解題關鍵．