Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形, 點G是BC上任意一點，DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F.

(1) 求證：DE－BF = EF；

(2) 當點G為BC邊中點時, 試探究線段EF與GF之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EF = 2FG，理由見解析.

【解析】分析：（1）本題的關鍵是求△ADE≌△ABF，以此來得出DE=AF=AE+EF=BE+EF，這兩個三角形中已知的條件有AD=BA，一組直角，關鍵是再找出一組對應角相等，可通過證明∠DAF和∠ABF來實現．（通過平行和等角的余角相等來證得）
（2）通過證明△AFB ∽△BFG ∽△ABG，得出AB，BG；AF，BF；BF，BG之間的比例關系，根據點G為BC邊中點，來得出AF，BF，BF，FG之間的比例關系，然后根據（1）中得出的結果來求BF，FG的大小關系．

詳解：(1) 證明:

∵ 四邊形ABCD 是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG

∴ DA=AB， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°

∴ ∠BAF = ∠ADE ∴ △ABF ≌ △DAE

∴ BF = AE , AF = DE

∴ DE－BF = AF－AE = EF

（2）EF = 2FG 理由如下：

∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG

∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG

∴

∴ AF = 2BF , BF =2FG

由(1)知, AE = BF，∴ EF = BF = 2 FG