Question

（2012•福州質檢）如圖，∠AOB=30°，n個半圓依次外切，它們的圓心都在射線OA上并與射線OB相切，設半圓C₁、半圓C₂、半圓C₃、…、半圓C_n的半徑分別是r₁、r₂、r₃、…、r_n，則

r2012

r2011

=

3

．

Answer 1

分析：設三個半圓與直線OC分別相切于D、E、F點，分別連接圓心與切點，根據切線的性質得到三個直角三角形，再根據30°角所對直角邊等于斜邊的一半得到OC₁=2C₁D，0C₂=2C₂E，0C₃=2C₃F，再由三半圓彼此外切，得到相兩圓的圓心距等于兩半徑相加，得出r₁、r₂、r₃間的關系，由r₁的值可得出r₂、r₃的值，按照此規律可歸納出r_n的值．

解答：
解：連接C₁D，C₂E，C₃F．
∵三半圓都與射線OB相切，
∴C₁D⊥OD，C₂E⊥OE，C₃F⊥OF，
又∵∠AOB=30°，
又∵三半圓彼此相外切，
∴OC₁=2C₁D=2r₁，0C₂=2C₂E=2r₂=OC₁+r₁+r₂=3r₁+r₂，0C₃=2C₃F=OC₁+r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴2r₂=3r₁+r₂，
∴r₂=3r₁，
∴r₃=9r₁=3²r₁，
∴按此規律歸納得：r_n=3^n-1r₁
則

r2012

r2011

=

32011•r1

32010•r1

=3．
故答案是：3．

點評：此題考查了兩圓相切的性質，切線的性質，含30°直角三角形的性質，一次函數的性質，兩圓了轉化及數形結合的思想，鍛煉了學生歸納總結的能力，其中當兩圓外切時，兩圓的圓心距等于兩半徑之和；兩圓內切時，兩圓圓心距等于兩半徑之差，熟練掌握性質是解本題的關鍵．