Question

7．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠CAE是△ABC的一個外角．
（1）用尺規作圖方法，按要求作圖：
①作△ABC的高AD；
②作∠CAE的平分線AM；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）判斷（1）中的AM與BC的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據過直線外一點做已知直線垂線的方法作高AD；根據角平分線的作法作∠CAE的平分線AM；
（2）根據等腰三角形的性質可得∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，根據角平分線的性質可得∠CAM=$\frac{1}{2}$∠CAE，然后可得∠MAD的度數，再根據同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線平行可得結論．

解答 解：（1）如圖：
①AD為所作的△ABC的高；
②射線AM為所作的∠CAE的平分線．

（2）AM∥BC．
證明如下：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC．
∵AM是∠CAE的平分線，
∴∠CAM=$\frac{1}{2}$∠CAE，
∴∠CAD+∠CAM=$\frac{1}{2}$∠EAB=90°，
∴AD⊥AM，
∴AM∥BC．

點評 此題主要考查了復雜作圖，以及平行線的判定，關鍵是掌握角平分線和過直線外一點做已知直線垂線的作圖方法．