Question

18．在Rt△ABC中，∠C=90°，且滿足AC＞BC，BD平分∠ABC，點E在BC上，∠EDB=45°，若BE=5CE，CD=3，則AB的長為10．

Answer 1

分析 如圖，作BF⊥DE于F，FN⊥BC于N，FM⊥AC于M，DH⊥AB于H，連接CF．由△DMF≌△BNF，推出FM=FN，DM=BN，由FM⊥CM，FN⊥CN，推出∠FCM=∠FCN=45°，推出CM=FM=CN=FN，四邊形MCNF是正方形，設邊長為x，CE=a，BE=5a，由DM=BN，可得3+x=6a-x，推出x=$\frac{6a-3}{2}$，由CD∥FN，得$\frac{CD}{FN}$=$\frac{CE}{EN}$，得$\frac{3}{\frac{6a-3}{2}}$=$\frac{a}{\frac{6a-3}{2}-a}$，解得a=1或$\frac{3}{2}$，分兩種情形分別求解即可．

解答 解：如圖，作BF⊥DE于F，FN⊥BC于N，FM⊥AC于M，DH⊥AB于H，連接CF．
∵∠FDB=∠FBD=45°，
∴DF=BF，∵∠DCE=∠EFB=90°，∠CED=∠FEB，
∴∠CDE=∠EBG，
在△DMF和△BNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠BNF=90°}\\{∠MDF=∠NBF}\\{DF=BF}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△BNF，
∴FM=FN，DM=BN，∵FM⊥CM，FN⊥CN，
∴∠FCM=∠FCN=45°，
∴CM=FM=CN=FN，四邊形MCNF是正方形，設邊長為x，CE=a，BE=5a，
∵DM=BN，
∴3+x=6a-x，
∴x=$\frac{6a-3}{2}$，
∵CD∥FN，
∴$\frac{CD}{FN}$=$\frac{CE}{EN}$，
∴$\frac{3}{\frac{6a-3}{2}}$=$\frac{a}{\frac{6a-3}{2}-a}$，
解得a=1或$\frac{3}{2}$，
∵$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BDA}}$=$\frac{DC}{AD}$=$\frac{\frac{1}{2}•BC•DC}{\frac{1}{2}•AB•CD}$，
∵BD平分∠ABC，DH⊥AB，DC⊥BC，
∴$\frac{DC}{AD}$=$\frac{BC}{AB}$，設AD=y，
①當a=1時，BC=6，
∴$\frac{3}{y}$=$\frac{6}{AB}$，
∴AB=2y，
在Rt△ABC中，6²+（y+3）²=（2y）²，解得y=5或-3（舍棄），
∴AB=10，
②當a=$\frac{3}{2}$時，BC=9，
∴$\frac{3}{y}$=$\frac{9}{AB}$，
∴AB=3y，
在Rt△ABC中，9²+（y+3）²=（3y）²，解得y=3或-$\frac{15}{4}$（舍棄），
AD+DC=6，6＜9不合題意舍棄，
∴AB=10．
故答案為10．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、勾股定理、平行線分線段成比例定理，角平分線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．