Question

【題目】如圖，在直角三角形紙片ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，點D在邊AB上，以CD為折痕將△CBD折疊得到△CPD，CP與邊AB交于點E，若△DEP為直角三角形，則BD的長是_____

Answer 1

【答案】或2﹣2．

【解析】

分兩種情形：①如圖1中，當∠EDF=90°時，作CH⊥AB于H．只要證明CH=DH，即可解決問題；②如圖2中，當∠DEF=90°時，設DE=x，則EF=2x，DF=BD=x，構建方程即可解決問題．

如圖1中，當∠EDF=90°時，作CH⊥AB于H．

在Rt△ACB中，∵AC=2，BC=4，∴AB==2，∴CH==．

∵∠ACB=∠AHC=90°，∴∠ACH+∠BCH=90°，∠BCH+∠B=90°，∴∠ACH=∠B=∠F．

∵CH∥DF，∴∠F=∠HCE，∴∠ACH=∠HCE，∠DCE=∠DCB，∴∠HCD=45°，∴HC=HD=．

∵AH==，∴BD=AB﹣AH﹣DH=2﹣=．

如圖2中，當∠DEF=90°時，設DE=x，則EF=2x，DF=BD=x．

∵AE+DE+BD=2，∴+x+x=2，∴x=2﹣，∴BD=x=2﹣2．

綜上所述：BD的長為或2﹣2．

故答案為：或2﹣2．