Question

3．如圖1，AB是⊙O的直徑，直線EF與⊙O相切于點C，連接AC，過點A作AD⊥EF于點D
（1）求證：∠CAD=∠BAC
（2）如圖2，將（1）中的條件“直線EF與⊙O相切于點C，連接AC”改成“直線EF與⊙O相交于點G，H，連接AG、AH”，其余條件不變，求證：∠GAD=∠BAH
（3）在圖2中，若AH平分∠BAG，AB=2$\sqrt{5}$，cos∠BAH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，直接寫出線段DG的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC．只要證明∠ACD+∠OAC=90°，∠CAD+∠ACD=90°即可解決問題．
（2）如圖2中，連接BH．首先證明∠AGD=∠B，由∠B+∠BAH=90°，∠GAD+∠AGD=90°，即可證明．
（3）在Rt△ABH中，首先求出AH、BH，由HA平分∠BAG，推出$\widehat{BH}$=$\widehat{GH}$，推出BH=HG=2，由△ABH∽△AGD，
推出$\frac{AD}{DG}$=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{4}{2}$=2，推出AD=2DG，設DG=x，則AD=2x，在Rt△AHD中，根據AH²=AD²+DH²，可得4²=（2x）²+（2+x）²，解方程即可．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OC．

∵EF是⊙O的切線，
∴OC⊥EF，
∴∠OCA+∠ACD=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠ACD+∠OAC=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BAC=CAD．

（2）證明：如圖2中，連接BH．

∵∠B+∠AGH=180°，∠AGH+∠AGD=180°，
∴∠AGD=∠B，
∵AB是直徑，
∴∠AHB=90°，
∴∠B+∠BAH=90°，
∵∠GAD+∠AGD=90°，
∴∠BAH=∠GAD．

（3）解：在圖2中，在Rt△ABH中，AB=2$\sqrt{5}$，cos∠BAH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
AH=AB•cosBAH=2$\sqrt{5}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=4，BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=2，
∵HA平分∠BAG，
∴$\widehat{BH}$=$\widehat{GH}$，
∴BH=HG=2，
∵∠BHA=∠GAD，∠AHB=∠ADG=90°，
∴△ABH∽△AGD，
∴$\frac{AD}{DG}$=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴AD=2DG，設DG=x，則AD=2x，
在Rt△AHD中，
∵AH²=AD²+DH²，
∴4²=（2x）²+（2+x）²，
解得x=$\frac{6}{5}$或2（舍棄），
∴DG=$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查圓綜合題、切線的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．