Question

如圖Ⅰ，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S₁、S₂、S₃表示，則不難證明S₁=S₂+S₃．


（1）如圖Ⅱ，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S₁、S₂、S₃表示，設BC=a，AC=b，AB=c，證明：S₁=S₂+S₃．
（2）如圖Ⅲ，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S₁、S₂、S₃表示，請你確定S₁、S₂、S₃之間的關系．（不必證明）
（3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正多邊形，其面積分別用S₁、S₂、S₃表示，請你猜想S₁、S₂、S₃之間的關系？．（不必證明）

Answer 1

（1）∵S₃=

π

8

AC²，S₂=

π

8

BC²，S₁=

π

8

AB²，
∴

π

8

AC²+

π

8

BC²=

π

8

AB²，
即

π

8

b²+

π

8

a²=

π

8

c²，
在Rt△ABC中，
∵b²+a²=c²，
∴S₂+S₃=S₁．

（2）S₁=S₂+S₃．
理由：由題意可得出：S₁=

3

4

AB²，S₂=

3

4

BC²，S₃=

3

4

AC²，
∴則S₁=

3

4

c2，S₂=

3

4

a2，S₃=

3

4

b2
∴S₂+S₃=

3

4

（a2+b2）=

3

4

c2=S₁，
即S₁=S₂+S₃．

（3）由（1）（2）可得出：S₁=S₂+S₃．