Question

如圖甲，分別以兩個彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系（O、C、F三點在x軸正半軸上），若⊙P過A、B、E三點（圓心在x軸上），拋物線經過A、C兩點，與x軸的另一交點為G，M是FG的中點，正方形CDEF的面積為1。
（1）求B點坐標；
（2）求證：ME是⊙P的切線；
（3）設直線AC與拋物線對稱軸交于N，Q點是此對稱軸上不與N點重合的一動點，①求△ACQ周長的最小值；②若FQ=t，S_△ACQ=s，直接寫出s與t之間的函數關系式。

Answer 1

解：（1）如圖甲，連接PE、PB，設PC=n， ∵正方形CDEF的面積為1， ∴CD=CF=1， 根據圓和正方形的對稱性知：OP=PC=n， ∴BC=2PC=2n， ∵而PB=PE， ∴PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2， PE2=PF2+EF2=（n+1）2+1， ∴5n2=（n+1）2+1， 解得：n=1（n=舍去）， ∴BC=OC=2， ∴B點坐標為（2，2）；
（2）如圖甲，由（1）知A（0，2），C（2，0）， ∵A，C在拋物線上， ∴， ∴， ∴拋物線的解析式為：， 即 ∴拋物線的對稱軸為x=3，即EF所在直線， ∵C與G關于直線x=3對稱， ∴CF=FG=1， ∴MF=FG=， 在Rt△PEF與Rt△EMF中， ， ∴， ∴△PEF∽△EMF， ∴∠EPF=∠FEM， ∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°， ∴ME是⊙P的切線；
（3）①如圖乙，延長AB交拋物線于A′，連CA′交對稱軸x=3于Q，連AQ，則有AQ=A′Q， ∴△ACQ周長的最小值為（AC+A′C）的長， ∵A與A′關于直線x=3對稱， ∴A（0，2），A′（6，2）， ∴A′C=， 而AC=， ∴△ACQ周長的最小值為； ②當Q點在F點上方時，S=t+1， 當Q點在線段FN上時，S=1-t， 當Q點在N點下方時，S=t-1。	圖乙