Question

（本題滿分12分）如圖甲，分別以兩個彼此相鄰的正方形?OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系（O、C、F三點在x軸正半軸上）.若⊙P過A、B、E三點(圓心在x軸上)，拋物線y=14x²+bx+c經過A、C兩點，與x軸的另一交點為G，M是FG的中點，正方形CDEF的面積為1.

【小題1】（1）求B點坐標；
【小題2】（2）求證：ME是⊙P的切線；
【小題3】（3）設直線AC與拋物線對稱軸交于N，Q點是此對稱軸上不與N點重合的一動點，①求△ACQ周長的最小值；
②若FQ＝t，S_△ACQ＝S，直接寫出S與t之間的函數關系式.

Answer 1

【小題1】（1）如圖甲，連接PE、PB，設PC=n，
∵正方形CDEF的面積為1，
∴CD=CF=1，
根據圓和正方形的對稱性知：OP=PC=n，
∴BC=2PC=2n，
∵而PB=PE，
∴PB²=BC²+PC²=4n²+n²=5n²，PE²=PF²+EF²=（n+1）²+1，
∴5n²=（n+1）²+1，
解得：n=1或n="-" 12（舍去），
∴BC=OC=2，
∴B點坐標為（2，2）；
【小題2】（2）如圖甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），
∵A，C在拋物線上，
\∴ {c=214×4+2b+c=0，
解得： {c=2b=-32，
∴拋物線的解析式為：y= 14x²- 32x+2= 14（x-3）²- 14，
∴拋物線的對稱軸為x=3，即EF所在直線，
∵C與G關于直線x=3對稱，
∴CF=FG=1，
∴MF=" 12FG=" 12，
在Rt△PEF與Rt△EMF中，
∠EFM=∠EFP，
∵ FMEF=121=12， EFPF=12，
∴ FMEF=EFPF，
∴△PEF∽△EMF，
∴∴∠EPF=∠FEM，
∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°，
∴ME是⊙P的切線；
【小題3】
（3）①如圖乙，延長AB交拋物線于A′，連CA′交對稱軸x=3于Q，連AQ，
則有AQ=A′Q，
∴△ACQ周長的最小值為AC+A′C的長，
∵A與A′關于直線x=3對稱，
∴A（0，2），A′（6，2），
∴A′C=（6-2）²+2²="2" 5，而AC=2²+2²="2" 2，
∴△ACQ周長的最小值為2 2+2 5；
②當Q點在F點上方時，S=t+1，
當Q點在線段FN上時，S=1-t，
當Q點在N點下方時，S=t-1．

解析