Question

如圖1直線y=-x+3與x軸、y軸交于A、B兩點，C點為線段AO上一點，一動點P在x軸上．
（1）當P點運動到與原點O重合時，P點關于直線BC的對稱點恰好落在直線AB上，求此時PC的長；
（2）如圖2，若C點為線段AO的中點，問：P點運動到何處，點P關于直線BC的對稱點落在直線AB上？

Answer 1

【答案】分析：過S作SR∥WQ交WZ的延長線于R，由平行得到∠QWZ=∠SWZ和=，根據等腰三角形的判定和性質得出WS=SR和=；
（1）把x=0和y=0代入求出A、B的坐標，根據勾股定理求出AB，根據上式得出的規律得出=，代入即可求出PC；
（2）設OP=x，根據上式得出的規律得到=，代入得出方程=，求出即可．
解答：解：過S作SR∥WQ交WZ的延長線于R，
∴∠R=∠QWZ，
∵WZ平分∠QWS，
∴∠QWZ=∠SWZ，
∴∠R=∠SWZ，
∴WS=SR，
∵SR∥WQ，
∴=，
∴=，


（1）解：當x=0時，y=3，
當y=0時，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∵當P點運動到與原點O重合時，P點關于直線BC的對稱點恰好落在直線AB上，
∴=，
即：=，
解得：PC=，
答：PC的長是．

（2）解：設OP=x，
∴=，
=，
解得：x₁=4，x₂=，
經檢驗x=4不是原方程的解，舍去，
答：P點運動到OP=時，點P關于直線BC的對稱點落在直線AB上．
點評：本題主要考查對一次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理，等腰三角形的性質和判定，平行線的性質平行線分線段成比例定理，三角形的角平分線等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．題型較好，難度適中．