Question

（10分）如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．

求證：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）根據條件AE⊥AB，AF⊥AC，得出∠EAC=∠BAF，再利用SAS證明△ABF≌△AEC，可證EC=BF；（2）根據（1），△ABF≌△AEC，所以∠AEC=∠ABF，設AB與EC交于點D．然后證明∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，即EC⊥BF．

試題解析：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，

即∠EAC=∠BAF，

在△ABF和△AEC中，

∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，

∴△ABF≌△AEC（SAS），

∴EC=BF；

（2）如圖，根據（1），△ABF≌△AEC，

∴∠AEC=∠ABF，設AB與EC交于點D．

∵AE⊥AB，

∴∠BAE=90°，

∴∠AEC+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDM（對頂角相等），

∴∠ABF+∠BDM=90°，

在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，

∴EC⊥BF．

考點：全等三角形的判定與性質．