Question

將拋物線y=-

1

2

x2+2x繞其頂點旋轉180°后得到一條新的拋物線，對于這條新拋物線解決以下問題：
（1）拋物線的開口方向、頂點坐標和對稱軸；
（2）當x取何值時，函數取得最大或最小值，并求出這個值；
（3）x在什么范圍內，函數值y隨x值的增大而減小；x在什么范圍內，函數值y隨x值的增大而增大．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線旋轉180°后，頂點坐標不變且a的值互為相反數，進而得出答案；
（2）利用頂點坐標得出函數最值即可；
（3）利用圖象開口方向得出增減性．

解答：解：（1）∵y=-

1

2

x2+2x=-

1

2

（x²-4x）=-

1

2

（x-2）²+2
此時拋物線頂點坐標為：（2，2），繞其頂點旋轉180°后得到一條新的拋物線，a互為相反數，
∴新拋物線解析式為：y=

1

2

（x-2）²+2，
∴拋物線的開口方向向上、頂點坐標（2，2），對稱軸為直線x=2；

（2）當x=2時，y有最小值2；

（3）∵a=

1

2

＞0，對稱軸為直線x=2，
∴當x＞2時，y隨x的增大而增大，
當x＜2時，y隨x的增大而減小．

點評：此題主要考查了二次函數的幾何變換問題；得到新函數的系數a的值是解決本題的關鍵．