Question

17．如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊AB、CD上，∠EBF=45°
（1）試探索線段AE、CF、EF之間的關系，并說明理由；
（2）若E、F兩點分別在AD和DC的延長線上，則（1）中結論是否保持不變？如果不變，請說明理由，如果變化，則請寫出線段AE、C F、EF之間的關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）延長EA至H，使AH=CF，連接BH，△BCF和△ABH，△FBE≌△HBE，根據全等三角形的性質得出EF=AE+CF即可得出答案，
（2）在AD上截取AH=CF，連接BH，證△BCF和△ABH，△FBE≌△HBE，根據全等三角形的性質得出EF=AE-CF即可得出答案．

解答 解：（1）EF=AE+CF；
證明：如圖1，延長EA至H，使AH=CF，連接BH，
∵在正方形ABCD中，
∴∠BCF=∠BAH，BC=AB，
在△BCF和△ABH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠BCF=∠BAH}\\{CF=HA}\end{array}\right.$
∴△BCF≌△BAH（SAS），
∴∠ABH=∠CBF，BF=BH，
∴∠FBH=90°，
∴∠EBF=∠EBH=45°，
在△FBE和△HBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BH}\\{∠FBE=∠EBH}\\{BE=BE}\end{array}\right.$
∴△FBE≌△HBE（SAS），
∴EF=HE=AE+HA，
∴EF=AE+CF；

（2）變化，EF=AE-CF，
理由：如圖1，在AD上截取AH=CF，連接BH，
∵在正方形ABCD中，
∴∠BCF=∠BAH，BC=AB，
在△BCF和△ABH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠BCF=∠BAH}\\{CF=HA}\end{array}\right.$
∴△BCF≌△BAH（SAS），
∴∠ABH=∠CBF，BF=BH，
∴∠FBH=90°，
∴∠EBF=∠EBH=45°，
在△FBE和△HBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BH}\\{∠FBE=∠EBH}\\{BE=BE}\end{array}\right.$
∴△FBE≌△HBE（SAS），
∴EF=HE=AE-HA，
∴EF=AE-CF．

點評 題主要考查正方形的性質，全等三角形的判定的綜合應用，作出輔助線延長EB至H，使BH=DF，利用全等三角形性質與判定求出是解題關鍵．