Question

（2012•高郵市二模）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，若CD=5，則四邊形ABCD的面積為

10

．

Answer 1

分析：作AE⊥AC，DE⊥AE，兩線交于E點，作DF⊥AC垂足為F點，求出∠BAC=∠DAE，根據AAS證△ABC≌△ADE，推出BC=DE，AC=AE，設BC=a，則DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，求出CF=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得出（3a）²+（4a）²=5²，求出a=1，根據S_{四邊形ABCD}=S_梯形ACDE求出梯形ACDE的面積即可．

解答：解：作AE⊥AC，DE⊥AE，兩線交于E點，作DF⊥AC垂足為F點，
∵∠BAD=∠CAE=90°，
即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
∵

∠DAE=∠BAC ∠E=∠ACB=90° AB=AD

，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴BC=DE，AC=AE，
設BC=a，則DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC-AF=AC-DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF²+DF²=CD²，
即（3a）²+（4a）²=5²，
解得：a=1，
∴S_{四邊形ABCD}=S_梯形ACDE=

1

2

×（DE+AC）×DF
=

1

2

×（a+4a）×4a
=10a²
=10．
故答案為：10．

點評：本題考查了勾股定理，全等三角形的性質和判定，梯形的性質等知識點，關鍵是正確作輔助線，題目綜合性比較強，有一定的難度．