Question

已知：∥∥∥，平行線與、與、與之間的距離分別為₁、₂、₃，且₁ =₃ = 1，₂ = 2 . 我們把四個頂點分別在、、、這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”.

 【探究1】 ⑴ 如圖1，正方形為“格線四邊形”，于點,的反向延長線交直線于點.  求正方形的邊長.

 【探究2】 ⑵ 矩形為“格線四邊形”，其長 ：寬 = 2 ：1 ，則矩形的寬為_____. (直接寫出結果即可)

 【探究3】 ⑶ 如圖2，菱形為“格線四邊形”且∠=60°，△是等邊三角形，                  于點， ∠=90°，直線分別交直線、于點、.   求證：.

 【拓 展】  ⑷ 如圖3，∥，等邊三角形的頂點、分別落在直線、上，于點，                  且=4 ，∠=90°，直線分別交直線、于點、，點、分別是線段、上的動點，且始終保持=，于點.

              猜想：在什么范圍內，∥？并說明此時∥的理由.

 

                   

Answer 1

解析：(1) 如圖1， ∵BE⊥l ,  l ∥k  ,

                   ∴∠AEB=∠BFC=90°, 

                         又四邊形ABCD是正方形，

                   ∴∠1+∠2=90°，AB=BC,                                    ∵∠2+∠3=90°, ∴ ∠1=∠3,

                   ∴⊿ABE≌⊿BCF(AAS),

                   ∴AE=BF=1 , ∵BE=d₁+d₂=3 ,   ∴AB= ,

                         ∴正方形的邊長是 .

      (2)如圖2,3，⊿ABE∽⊿BCF,

                  ∴ 或 

                          

                        ∵BF=d₃=1 ,

                  ∴AE= 或

                  ∴AB= 或

                    AB=

                         ∴矩形ABCD的寬為或.                       (注意：要分2種情況討論）

      (3)如圖4，連接AC，

                ∵四邊形ABCD是菱形，

                ∴AD=DC,

                又∠ADC=60°,

    ∴⊿ADC是等邊三角形，

∴AD=AC，

                ∵AE⊥k , ∠AFD=90°,  ∴∠AEC=∠AFD=90°，

                ∵⊿AEF是等邊三角形， ∴ AF=AE,

                ∴⊿AFD≌⊿AEC(HL),   ∴EC=DF.

      (4)如圖5，當2＜DH＜4時， BC∥DE .

                 理由如下： 

                 連接AM,

                 ∵AB⊥k  , ∠ACD=90°,

                 ∴∠ABE=∠ACD=90°,

                 ∵⊿ABC是等邊三角形，

∴AB=AC ,

                 已知AE=AD,  ∴⊿ABE≌⊿ACD(HL)，∴BE=CD；

                 在Rt⊿ABM和Rt⊿ACM中，

                   ，∴Rt⊿ABM≌Rt⊿ACM(HL),

                 ∴ BM=CM ；

                 ∴ME=MD,

                 ∴ ,  ∴ED∥BC.