Question

7．如圖，AD為△ABC的高，AE為△ABC外接圓的直徑，且AD=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{3}$，AB：AC=2：3，求sinB的值．

Answer 1

分析 連接CE，根據圓周角定理得到∠ACE=90°，設AB=2k，AC=3k，根據相似三角形的性質得到k=2，求得AB=4，然后根據三角函數的定義即可得到結論．

解答 解：連接CE，
∴∠B=∠E，
∵AE為△ABC外接圓的直徑，
∴∠ACE=90°，
∵AD=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{3}$，
∴AE=4$\sqrt{3}$，
∵AB：AC=2：3，
∴設AB=2k，AC=3k，
∵AD為△ABC的高，
∴∠ADB=∠ACE=90°，
∴△ABD∽△AEC，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{2k}{4\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3k}$，
∴k=2，
∴AB=4，
∴sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定和性質，圓周角定理與三角函數的定義．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與轉化思想的應用．