Question

2．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)，連接DF，分析下列四個(gè)結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S_{四邊形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF其中正確的結(jié)論有（　　）

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 ①根據(jù)四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正確；
②根據(jù)點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，可得CF=2AF，故②正確；
③過(guò)D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，得到CN=NF，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③正確；
④根據(jù)△AEF∽△CBF得到EF與BF的比值，以及AF與AC的比值，據(jù)此求出S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△ABF=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCD，可得S_{四邊形CDEF}=S_△ACD-S_△AEF=$\frac{5}{12}$S_矩形ABCD，即可得到S_{四邊形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，故④正確．

解答 解：如圖，過(guò)D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵BE⊥AC于點(diǎn)F，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正確；

∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2AF，故②正確；

∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四邊形BMDE是平行四邊形，
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=CM，CN=NF，
∵BE⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DN垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正確；

∵△AEF∽△CBF，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△ABF=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCD，
∴S_△AEF=$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD，
又∵S_{四邊形CDEF}=S_△ACD-S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD-$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD=$\frac{5}{12}$S_矩形ABCD，
∴S_{四邊形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，故④正確；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算的綜合應(yīng)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．