Question

（1）如圖1，在線段AB上取一點C（BC>AC），分別以AC、BC為邊在同一側作等邊ACD與等邊BCE，連結AE、BD，則ACE經過怎樣的變換（平移、軸對稱、旋轉）能得到DCB？請寫出具體的變換過程；（不必寫理由）

（2）如圖2，在線段AB上取一點C（BC>AC），如果以AC、BC為邊在同一側作正方形ACDG與正方形CBEF，連結EG，取EG的中點M，設 DM的延長線交EF于N，并且DG=NE;請探究DM與FM的關系，并加以證明；

（3）在圖2的基礎上，將正方形CBEF繞點C順時針旋轉（如圖3），使得A、C、E在同一條直線上，請你繼續探究線段MD、MF的關系，并加以證明.

 

Answer 1

（1）將ACE繞點C順時針旋轉60°后能得到DCB

(2) 如圖（2），答：相等且垂直．

先證MGD≌MEN

∴DM=NM．在中，．

∵NE=GD, GD=CD，∴NE=CD，∴FN=FD

即FM⊥DM，

∴DM與 FM相等且垂直

(3)如圖（3），答：相等且垂直．延長DM交CE于N，連結DF、FN

先證MGD≌MNE

∴DM =NM, NE=DG．

∵∠DCF=∠FEN=45°，DC=DG=NE，FC=FE，　　　　　　　　∴DCF≌NEF，∴DF=FN, ∠DFC=∠NFE，               

可證∠DFN=90°，

即FM=DM, FM⊥DM

∴DM與 FM相等且垂直