Question

如圖：E在線段CD上，EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，點F在線段AB上運動，AD=4cm，BC=3cm，且AD∥BC．
（1）你認為AE和BE有什么位置關系？并驗證你的結論；
（2）當點F運動到離點A多少cm時，△ADE才能和△AFE全等？為什么？
（3）在（2）的情況下，此時BF=BC嗎？為什么？并求出AB的長．

Answer 1

分析：（1）由角平分線性質和平行線內同旁內角互補，易得∠AEB=90°，從而確定AE⊥BE．
（2）可以這樣理解，即當△ADE與△AFE全等時，求AF的長，可得解AF=AD=4cm．
（3）尋找條件證明△ECB≌△EFB，可得BF=BC．再由AF=AD=3cm，BF=BC=4cm，即可得AB的長．

解答：解：（1）AE⊥BE；（1分）
∵EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，
∴∠2=

1

2

∠DAB，∠3=

1

2

∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BE；（3分）

（2）當點F運動到離點A為4cm（即AF=AD=4cm）時，△ADE≌△AFE；（4分）
∵EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△AFE與△ADE中有∠1=∠2，AE=AE，AF=AD，
∴△AFE≌△ADE；（6分）

（3）BF=BC；
∵△AFE≌△ADE，
∴∠D=∠5，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∵∠5+∠6=180°，
∴∠C=∠6，
在△ECB與△EFB中有

∠3=∠4 ∠C=∠6 BE=BE

∴△ECB≌△EFB，
∴BF=BC．（8分）
∵AF=AD=4cm，BF=BC=3cm，
∴AB=AF+BF=3+4=7（cm）．（10分）

點評：本題主要考查三角形全等的判定，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．還涉及到角平分線的性質，平行線的性質，同學們要靈活運用．