Question

如圖：E在線段CD上，EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，∠AEB=90°，設AD=x，BC=y，且（x-3）²+|y-4|=0．
（1）求AD和BC的長；
（2）你認為AD和BC還有什么關系？并驗證你的結論；
（3）你能求出AB的長度嗎？若能，請寫出推理過程；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AD=x，BC=y，且（x-3）²+|y-4|=0，
∴AD=3，BC=4．

（2）AD∥BC，
理由是：∵在△AEB中，∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
又∵EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∴AD∥BC．

（3）能．
如圖，過E作EF∥AD，交AB于F，
∵AD∥BC（已證），EF∥AD，
∴AD∥EF∥BC，
則∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，
∵EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，
∴∠EAF=∠AEF，∠EBF=∠BEF，
∴AF=EF=FB，
又∵EF∥AD∥BC，
∴EF是梯形ABCD的中位線，
∴EF==，
∴AB=7．
分析：（1）根據題意可知x-3=0，y-4=0，易求解AD和BC的長；（2）根據∠AEB=90°，可得∠EAB+∠EBA=90°，因為EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，則∠DAB+∠ABC=180°，所以AD∥BC；（3）如圖，過E作EF∥AD，交AB于F，則∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，因為EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，所以AF=EF=FB，再根據梯形中位線定理易求AB的長．
點評：本題主要考查了平行線的判定和梯形中位線定理，要靈活運用已知條件求解．