Question

在邊長為6的菱形ABCD中，動點M從點A出發，沿A?B?C向終點C運動，連接DM交AC于點N．

（1）如圖1，當點M在AB邊上時，連接BN：
①求證：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求點M到AD的距離及tanα的值．
（2）如圖2，若∠ABC=90°，記點M運動所經過的路程為x（6≤x≤12）．試問：x為何值時，△ADN為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）①三角形ABN和ADN中，不難得出AB=AD，∠DAC=∠CAB，AN是公共邊，根據SAS即可判定兩三角形全等．
②通過構建直角三角形來求解．作MH⊥DA交DA的延長線于點H．由（1）可得∠MDA=∠ABN，那么M到AD的距離和∠α就轉化到直角三角形MDH和MAH中，然后根據已知條件進行求解即可．
（2）本題要分三種情況即：ND=NA，DN=DA，AN=AD進行討論．

解答：解：（1）①證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠1=∠2．
又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN（SAS）．
②作MH⊥DA交DA的延長線于點H．
由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．
在Rt△AMH中，MH=AM•sin60°=4×sin60°=2

3

．
∴點M到AD的距離為2

3

．
∴AH=2．
∴DH=6+2=8．
在Rt△DMH中，tan∠MDH=

MH

DH

=

2 3

8

=

3

4

，
由①知，∠MDH=∠ABN=α，
∴tanα=

3

4

；

（2）∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠CAD=45°．
下面分三種情形：
（Ⅰ）若ND=NA，則∠ADN=∠NAD=45°．
此時，點M恰好與點B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，則∠DNA=∠DAN=45°．
此時，點M恰好與點C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，則∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．
∴CM=CN．
∵AC=6

2

．
∴CM=CN=AC-AN=6

2

-6．
故x=12-CM=12-（6

2

-6）=18-6

2

．
綜上所述：當x=6或12或18-6

2

時，△ADN是等腰三角形．

點評：本題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性質，正方形的性質等知識點，注意本題（2）中要分三種情況進行討論，不要丟掉任何一種情況．