Question

在邊長為6的菱形ABCD中，動點M從點A出發，沿A?B?C向終點C運動，連接DM交AC于點N．
（1）如圖1，當點M在AB邊上時，連接BN：求證：△ABN≌△ADN；
（2）如圖2，若∠ABC=90°，記點M運動所經過的路程為x（6≤x≤12）．試問：x為何值時，△ADN為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根據菱形的四條邊都相等可得AB=AD，對角線平分一組對角可得∠BAN=∠DAN，然后利用“邊角邊”證明；
（2）根據有一個角是直角的菱形的正方形判斷出四邊形ABCD是正方形，再根據正方形的性質點M與點B、C重合時△ADN是等腰三角形；AN=AD時，利用勾股定理列式求出AC，再求出CN，然后求出△ADN和△CMN相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出CM，然后求出BM即可得解．

解答：（1）證明：在菱形ABCD中，AB=AD，∠BAN=∠DAN，
在△ABN和△ADN中，

AB=AD ∠BAN=∠DAN AN=AN

，
∴△ABN≌△ADN（SAS）；

（2）解：∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴當x=6時，點M與點B重合，AN=DN，△ADN為等腰三角形，
當x=12時，點M與點C重合，AD=DN，△ADN為等腰三角形，
當AN=AD時，在Rt△ACD中，AC=

62+62

=6

2

，
CN=AC-AN=6

2

-6，
∵正方形ABCD的邊BC∥AD，
∴△ADN∽△CMN，
∴

CM

AD

=

CN

AN

，
即

CM

6

=

6 2 -6

6

，
解得CM=6

2

-6，
∴BM=BC-AM=6-（6

2

-6）=12-6

2

，
x=AB+BM=6+12-6

2

=18-6

2

，
綜上所述，x為6或18-6

2

或12時，△ADN為等腰三角形．

點評：本題是四邊形綜合題型，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性質，正方形的性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，熟記各性質是解題的關鍵，難點在于（2）要分情況討論．