Question

如圖，在邊長為8的菱形ABCD中，若∠ABC=60°，
（1）如圖1，E是AB中點，P在DB上運動，求：PA+PE的最小值．
（2）如圖2，DM交AC于點N．若AM=6，∠ABN=α，求點M到AD的距離及tanα的值．

Answer 1

分析：（1）首先連接AC，CE，分別交BD于點O，Q，由四邊形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，OD=OA，則可得QC+QE=CE≤PA+PE，繼而求得CE的長；
（2）首先過點M作MF⊥AD于點F，∠BAF=∠ABC=60°，則可求得點M到AD的距離，易證得△ABN≌△ADN，則可求得tanα的值．

解答：（1）如圖1，連接AC，CE，分別交BD于點O，Q，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD=OA，
∴QC+QE=CE≤PA+PE，
又∵∠ABC=60°，AB=CB=8，
∴AB=AC=CB=8，
∴CE=4

3

∴PA+PE的最小值為：4

3

．

（2）如圖2，過點M作MF⊥AD于點F，∠BAF=∠ABC=60°，
∵AM=6，
∴MF=AMsin60°=3

3

，AF=3，
即點M到AD的距離為3

3

，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，
在△ABN和△ADN中，

AB=AD ∠BAN=∠DAN AN=AN

，
∴△ABN≌△ADN（SAS），
∴∠ADN=∠ABN=tanα=

MF

DF

=

3 3

11

．

點評：此題考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．