Question

1．如圖，在△ABC中，2AB=3AC，AD為△ABC的角平分線，點E在BC的延長線上，EF⊥AD于點F，點G在AF上，FG=FD，連接EG交AC于點H，若點H是AC的三等分點，則$\frac{AG}{GD}$為$\frac{2}{7}$或$\frac{4}{5}$．．

Answer 1

分析 由2AB=3AC，CH=2AH，得到AC=3AH，AB=$\frac{3}{2}$AC=$\frac{3}{2}$×3AH=$\frac{9}{2}$AH，于是得到$\frac{AB}{AH}$=$\frac{9}{2}$，由于AD為△BAC的角平分線，得到∠BAD=∠HAG，根據等腰三角形的性質三線合一得到∠GDE=∠DGE，DG=2DF=2FG，求得△ABD∽△AHG，列比例式代入數據即可得到結果．

解答 解：①∵2AB=3AC，當CH=2AH，
∴AC=3AH，AB=$\frac{3}{2}$AC=$\frac{3}{2}$×3AH=$\frac{9}{2}$AH，
∴$\frac{AB}{AH}$=$\frac{9}{2}$，
∵AD為△BAC的角平分線，
∴∠BAD=∠HAG，
∵EF⊥AD，EG=DE，
∴∠GDE=∠DGE，DG=2DF=2FG，
∴∠ADB=∠AGH，
∴△ABD∽△AHG，
∴$\frac{AD}{AG}$=$\frac{AB}{AH}$=$\frac{9}{2}$，
∴AG=$\frac{2}{9}$AD，
∴DG=$\frac{7}{9}$AD，DG=$\frac{7}{9}$AD，
∴$\frac{AG}{GD}$=$\frac{2}{7}$．
②當AH=2CH，
同理可得$\frac{AG}{GD}$=$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{2}{7}$或$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，推出△ABD∽△AHG是解題的關鍵．