Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點O為坐標原點，點A（0，4）．△AOB是等邊三角形，點B在第一象限．

（1）如圖①，求點B的坐標；

（2）點P是x軸上的一個動點，連接AP，以點A為旋轉中心，把△AOP逆時針旋轉，使邊AO與AB重合，得△ABD．

①如圖②，當點P運動到點（，0）時，求此時點D的坐標；

②求在點P運動過程中，使△OPD的面積等于的點P的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（1）（，2）；（2）①點D坐標（，），②點P的坐標分別為（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．

【解析】

（1）過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．依題意得BF＝OE＝2，利用勾股定理求出OF，然后可得點B的坐標．

（2）①由△ABD由△AOP旋轉得到，證明△ABD≌△AOP．AP＝AD，∠DAB＝∠PAO，∠DAP＝∠BAO＝60°，△ADP是等邊三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD＝90°，∠DBG＝60°．利用三角函數求出BG＝BDcos60°，DG＝BDsin60°．然后求出OH，DH，然后求出點D的坐標．

②本題分三種情況進行討論，設點P的坐標為（x，0）：第一種情況：當點P在x軸正半軸上時，第二種情況：當P在x軸負半軸，OP＜時，第三種情況：當點P在x軸的負半軸上，且OP≥時，此時點D在x軸上或第四象限．綜合上面三種情況即可求出符合條件的值．

解：（1）如圖①，過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F，

∵△AOB是等邊三角形，OA＝4，

∴BF＝OE＝2．

在Rt△OBF中，

由勾股定理，得：，

∴點B的坐標為（，2）．

（2）①如圖②，過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F，過點D作DH⊥x軸于點H，延長EB交DH于點G．則BG⊥DH．

∵△ABD由△AOP旋轉得到，

∴△ABD≌△AOP．

∴∠ABD＝∠AOP＝90°，.

∵△AOB是等邊三角形，

∴∠ABO＝60°．

∵BE⊥OA，

∴∠ABE＝30°，

∴∠DBG＝60°，∠BDG＝30°．

在Rt△DBG中，.

∵sin60°＝，

∴DG＝DBsin60°＝，

∴，．

∴點D的坐標為（，）．

②點P的坐標分別為：（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．

假設存在點P，在它運動過程中，使△OPD的面積等于.

設OP＝x，下面分三種情況討論．

第一種情況：

當點P在x軸正半軸上時，如圖③，BD＝OP＝x，

在Rt△DBG中，∠DBG＝60°，

∴DG＝BDsin60°＝，

∴.

∵△OPD的面積等于，

∴，.

解得：，（舍去）．

∴點P1的坐標為（，0）．

第二種情況：

當點P在x軸的負半軸上，且OP＜時，此時點D在第一象限，如圖④，

在Rt△DBG中，∠DBG＝30°，BG＝BDcos30°＝．

∴，

∵△OPD的面積等于，

∴，.

解得：，.

∴點P2的坐標為（，0）．點P3的坐標為（，0）．

第三種情況：

當點P在x軸的負半軸上，且OP≥時，此時點D在x軸上或第四象限，如圖⑤，

在Rt△DBG中，∠DBG＝60°，

∴DG＝BDsin60°＝．

∵△OPD的面積等于，

∴，.

解得：，（舍去）．

∴點P4的坐標為：（，0）．

綜上所述，點P的坐標為：P1（，0）或P2（，0）或P3（，0）或P4（，span>0）．