Question

【題目】取一副三角板按如圖所示拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A順時針方向旋轉，旋轉角度為α（0°＜α≤45°），得到△ABC′．

①當α為多少度時，AB∥DC？

②當旋轉到圖③所示位置時，α為多少度？

③連接BD，當0°＜α≤45°時，探求∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明．

Answer 1

【答案】（1）當α＝15°時，AB∥DC；（2）α＝45°；（3）詳見解析.

【解析】

（1）若AB∥DC，則∠BAC=∠C=30°，得到α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°；
（2）當旋轉到圖③所示位置時，α=45°，
（3）連接CC′，BD，BO，在△BDO和△OCC′中，利用三角形內角和定理得到∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C，即可求得∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°，即得到∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不變．

解：（1）當α＝15°時，AB∥DC.

（2）當旋轉到圖③所示位置時，α＝45°.

（3）當0°＜α≤45°時，∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC值的大小不變.

證明：連接CC′，在△BDO和△OCC′中，對頂角∠BOD＝∠COC′，

∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4，.

∴∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC

＝∠2＋∠α＋∠1

＝180°―∠ACD―∠AC′B

＝180°―45°―30°

＝105°

∴當0°＜α≤45°時，∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC值的大小不變