Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，AC與⊙O交于點F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足為E點．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，∠BAC＝60°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）S陰影＝π.

【解析】

（1）連接OD，先證明∠OAD＝∠CAD，∠ODA＝∠CAD，從而證明∠ODE＝90°，即可證明DE是⊙O的切線；

（2）連接OF，根據∠BAC＝60°和角度轉換證明OD∥OC，即可證明S△AFD＝S△AFO，把圖中陰影部分面積轉換得到扇形OAF的面積，再根據扇形面積公式即可求出.

解：（1）連結OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD＝∠CAD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，

∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切線；

（2）連接OF，

∵OD∥AC，

∴S△AFD＝S△AFO，

∵∠BAC＝60°，OA＝OF，

∴△OAF為等邊三角形，

∴∠AOF＝60°，

∴S陰影＝S扇形OAF＝＝π．