Question

11．如圖，等腰直角△ABC中，∠A=90°，AD：DC=1：2，求∠DBC的三角函數值．

Answer 1

分析 先過點D作DE⊥BC于E，得到∠CDE=∠C=45°，再設AD=k，則CD=2k，AB=3k，根據勾股定理求得Rt△ABD中，BD=$\sqrt{10}$k，Rt△CDE中，DE=CE=$\sqrt{2}$k，Rt△ABC中，BC=3$\sqrt{2}$k，BE=2$\sqrt{2}$k，最后計算∠DBC的三角函數值．

解答 解：如圖所示，過點D作DE⊥BC于E，則∠CDE=∠C=45°，
∵等腰直角△ABC中，∠A=90°，AD：DC=1：2，
∴設AD=k，則CD=2k，AB=3k，
∴Rt△ABD中，BD=$\sqrt{10}$k，
Rt△CDE中，DE=CE=$\sqrt{2}$k，
Rt△ABC中，BC=3$\sqrt{2}$k，
∴BE=2$\sqrt{2}$k，
∴在Rt△BDE中，sin∠DBC=$\frac{DE}{DB}$=$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{10}k}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
cos∠DBC=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{2\sqrt{2}k}{\sqrt{10}k}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，
tan∠DBC=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}k}{2\sqrt{2}k}$=$\frac{1}{2}$，
cot∠DBC=2．

點評 本題主要考查了等腰直角三角形的性質和解直角三角形的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造等腰直角三角形．