Question

如圖，⊙C經過原點且與兩坐標軸分別交于點A和點B，點A的坐標為（0，2），D為⊙C在第一象限內的一點且∠ODB=60°，解答下列各題：
（1）求線段AB的長及⊙C的半徑；
（2）求B點坐標及圓心C的坐標．

Answer 1

分析：（1）連接AB；由圓周角定理可知，AB必為⊙C的直徑；Rt△ABO中，易知OA的長，而∠OAB=∠ODB=60°，通過解直角三角形，即可求得斜邊AB的長，也就求得了⊙C的半徑；
（2）在Rt△ABO中，由勾股定理即可求得OB的長，進而可得到B點的坐標；過C分別作弦OA、OB的垂線，設垂足為E、F；根據垂徑定理即可求出OE、OF的長，也就得到了圓心C的坐標．

解答：解：（1）連接AB；∵∠ODB=∠OAB，∠ODB=60°
∴∠OAB=60°，
∵∠AOB是直角，
∴AB是⊙C的直徑，∠OBA=30°；
∴AB=2OA=4，∴⊙C的半徑r=2；（5分）

（2）在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB²+OA²=AB²，
∴OB=2

3

，∴B的坐標為：（2

3

，0）（8分）
過C點作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
由垂徑定理得：OE=AE=1，OF=BF=

3

，
∴CE=

3

，CF=1，
∴C的坐標為（

3

，1）．（12分）

點評：此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、點的坐標意義、勾股定理等知識的綜合應用能力，綜合性較強，難度適中．