Question

1．小明家準備裝修廚房，打算鋪設如圖1的正方形地磚，該地磚既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，鋪設效果如圖2所示．經測量圖1發現，磚面上四個小正方形的邊長都是4cm，AB=JN=2cm，中間的多邊形CDEFGHIK是正八邊形．
（1）求MA的長度；
（2）求正八邊形CDEFGHIK的面積；
（3）已知小明家廚房的地面是邊長為3.14米的正方形，用該地磚鋪設完畢后，最多形成多少個正八邊形？（地磚間縫隙的寬度忽略不計）

Answer 1

分析 （1）連接BK和NC，兩線的交點為O，根據正方形的性質和勾股定理求出ON，即可求出答案；
（2）作輔助線得出正方形和直角三角形，分別求出正方形和直角三角形的面積，即可得出答案；
（3）求出正方形地磚的邊長，求出其面積，再求出小明家廚房的地面的面積，即可得出答案．

解答 解：（1）連接BK和NC，兩線的交點為O，
∵四邊形BCKN是正方形，
∴∠NOB=90°，OB=ON，
∵BN=4cm，
∴由勾股定理得：BO=ON=2$\sqrt{2}$cm，
∵JN=2cm，
∴AM=JO=（2+2$\sqrt{2}$）cm；

（2）如圖，作小正方形的對角線，組成正方形ORZQ，
則正方形的邊長為（2$\sqrt{2}$+4+2$\sqrt{2}$）cm，即為（4$\sqrt{2}$+4）cm，
所以正八邊形CDEFGHIK的面積為S_{正方形OQZR}-4S_△BOC=（4$\sqrt{2}$+4）²-4×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=（32+32$\sqrt{2}$）cm²；

（3）正方形地磚的邊長為：2×（2+2$\sqrt{2}$）cm+（4$\sqrt{2}$+4）cm=（8+8$\sqrt{2}$）cm，
∵3.14米=314cm，
∴314²÷（8+8$\sqrt{2}$）²≈263（塊）．
答：用該地磚鋪設完畢后，最多形成263個正八邊形．

點評 本題考查了平面鑲嵌問題的應用，能構造特殊圖形是解此題的關鍵，本題難度較大，同時還考查了正方形和正八邊形的性質及勾股定理．