Question

12．以△ABC的邊AC為直徑作⊙O，與AB、BC相交于點(diǎn)D、M，ME為⊙O的切線，ME⊥AB于E．
（1）求證：AB=AC；
（2）若BD=EM=2，求四邊形AEMC的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖連結(jié)OM，由EM與⊙O 相切，得到OM⊥EM，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠OMC，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠OMC=∠C，于是得到結(jié)論；
（2）連結(jié)DM、AM，由四邊形ACMD為⊙O的內(nèi)接四邊形，得到∠DMC+∠BAC=180°．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BM}{AB}=\frac{BD}{BC}$．推出△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)的意思等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）證明：如圖1所示：連結(jié)OM，
∵EM與⊙O 相切，
∴OM⊥EM，
∵M(jìn)E⊥AB于E．
∴OM∥AB，
∴∠B=∠OMC，
∵OM=OC，
∴∠OMC=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）連結(jié)DM、AM
∵四邊形ACMD為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠DMC+∠BAC=180°．
又∵∠DMB+∠DMC=180°，
∴∠BMD=∠BAC．
又∵∠B=∠B，
∴△BMD∽△BAC．
∴$\frac{BM}{AB}=\frac{BD}{BC}$．
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠AMC=90°．
∵在△ABC中，AB=AC，
∴BM=CM=2，
∴BC=4．
∴$\frac{2}{AB}$=$\frac{2}{BC}$，
∴AB=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AM=2$\sqrt{3}$，
BE=1．ME=$\sqrt{3}$，
∴四邊形AEMC的面積=S_△ABC-S_△BME=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}×$1×$\sqrt{3}$=$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)，證得△BMD∽△BAC是解題的關(guān)鍵．