Question

如圖所示，⊙O的直徑AB長為6，弦AC長為2，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求四邊形ADBC的面積．

Answer 1

【答案】分析：四邊形ADBC可分作兩部分：
①△ABC，由圓周角定理知∠ACB=90°，Rt△ACB中，根據勾股定理即可求得直角邊BC的長，進而可根據直角三角形的面積計算方法求出△ABC的面積；
②△ABD，由于CD平分∠ACB，則弧AD=弧BD，由此可證得△ABD是等腰Rt△，即可根據斜邊的長求出兩條直角邊的長，進而可得到△ABD的面積；
上述兩個三角形的面積和即為四邊形ADBC的面積，由此得解．
解答：解：∵AB是直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，∴BC===4；
∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，∴∠DCA=∠BCD；
∴，
∴AD=BD；
∴在Rt△ABD中，AD=BD=3，AB=6，
∴四邊形ADBC的面積=S_△ABC+S_△ABD=AC•BC+AD•BD
=×2×4+×3×3=9+4．
故四邊形ADBC的面積是9+4．
點評：此題主要考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，直角三角形的性質，勾股定理等知識的綜合應用能力．