Question

如圖所示，⊙O的直徑的長是關于x的二次方程x²+2（k-2）x+k=0（k是整數）的最大整數根． P是⊙O外一點，過點P作⊙O的切線PA和割線PBC，其中A為切點，點B，C是直線PBC與⊙O的交點．若PA，PB，PC的長都是正整數，且PB的長不是合數，求PA²+PB²+PC²的值．

Answer 1

分析：設方程x²+2（k-2）x+k=0的兩個根為x₁，x₂，x₁≤x₂，x₁，x₂都是整數，因為BC=PC-PB為正整數，所以BC=1，2，3或4，討論BC的值即可求得PA²+PB²+PC²的值，即可解題．

解答：解：
設方程x²+2（k-2）x+k=0的兩個根
為x₁，x₂，x₁≤x₂．由根與系數的關系得x₁+x₂=4-2k，①x₁x₂=k．②
由題設及①知，x₁，x₂都是整數．從①，②消去k，得2x₁x₂+x₁+x₂=4，（2x₁+1）（2x₂+1）=9．
由上式知，x₂≤4，且當k=0時，x₂=4，故最大的整數根為4．
于是⊙O的直徑為4，所以BC≤4．
因為BC=PC-PB為正整數，所以BC=1，2，3或4．
連接AB，AC，因為∠PAB=∠PCA，所以△PAB∽△PCA，

PA

PB

=

PC

PA

．
故PA²=PB（PB+BC）③
（1）當BC=1時，由③得，PA²=PB²+PB，于是PB²＜PA²＜（PB+1）²，矛盾！
（2）當BC=2時，由③得，PA²=PB²+2PB，于是PB²＜PA²＜（PB+1）²，矛盾！
（3）當BC=3時，由③得，PA²=PB²+3PB，于是（PA-PB）（PA+PB）=3PB，
由于PB不是合數，結合PA-PB＜PA+PB，
故只可能

PA-PB=1 PA+PB=3PB

，

PA-PB=3 PA+PB=PB

，

PA-PB=PB PA+PB=3

，
解得

PA=2 PB=1.

此時PA²+PB²+PC²=21．
（4）當BC=4，由③得，PA²=PB²+4PB，于是（PB+1）²＜PB²+4PB=PA²＜（PB+2）²，矛盾．
綜上所述PA²+PB²+PC²=21．

點評：本題考查了一元二次方程的求解，考查了分類討論思想，本題中討論BC的值并求PA²+PB²+PC²是解題的關鍵．