Question

如圖所示，⊙O的直徑AB=4，點P是AB延長線上的一點，過P點作⊙O的切線，切點為C，連接AC．
（1）若∠CPA=30°，求PC的長；
（2）若點P在AB的延長線上運動，∠CPA的平分線交AC于點M，你認為∠CMP的大小是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變化，求出∠CMP的大小．

Answer 1

分析：（1）作輔助線，連接OC，根據切線的性質知：OC⊥PC，由∠CPO的值和OC的長，可將PC的長求出；
（2）通過角之間的轉化，可知：∠CMP=

1

2

（∠COP+∠CPO），故∠CMP的值不發生變化．

解答：解：（1）連接OC，
∵AB=4，∴OC=2
∵PC為⊙O的切線，∠CPO=30°
∴PC=

OC

tan30°

=

2

3 3

=2

3

；

（2）∠CMP的大小沒有變化．
理由如下：∵∠CMP=∠A+∠MPA（三角形外角定理），∠A=

1

2

∠COP（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），
∠MPA=

1

2

∠CPO（角平分線的性質），
∴∠CMP=∠A+∠MPA=

1

2

∠COP+

1

2

∠CPO=

1

2

（∠COP+∠CPO）=

1

2

×90°=45°．

點評：本題主要考查切線的性質及對直角三角形性質的運用．