Question

如圖所示，⊙O的直徑AB=2，AD，BC是它的兩條切線，且CD與⊙O相切于點E，交AD，BC于點D，C，設AD=x，BC=y．
（1）求證：AD+BC=CD；
（2）求y關于x的函數關系，并畫去它的圖象；
（3）若x，y是方程2t²-5t+m=0的兩根，求x，y的值；
（4）求四邊形的ABCD的面積S，（用字母表示）并證明S≥2．

Answer 1

分析：（1）首先連接OE，由AD，BC是它的兩條切線，CD與⊙O相切于點E，根據切線長定理，即可得AD=DE，EC=BC，又由CD=DE+CE，即可證得AD+BC=CD；
（2）過點D作DM⊥BC于M，由AD，BC是它的兩條切線，可得AB⊥AD，AB⊥BC，即可證得四邊形ABMD是矩形，則可求得DM與CM的長，由勾股定理，即可得方程（x+y）²=4+（y-x）²，解此方程組即可求得y關于x的函數關系；
（3）由x，y是方程2t²-5t+m=0的兩根，根據根與系數的關系求得m的值，然后解方程即可求得x，y的值；
（4）根據（3）可得四邊形ABCD是梯形，根據梯形面積的求解方法，可得S=xy，又由y=

1

x

，根據幾何不等式的性質，即可證得S≥2．

解答：（1）證明：連接OE，
∵AD，BC是它的兩條切線，CD與⊙O相切于點E，
∴AD=DE，EC=BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，
即：AD+BC=CD；

（2）解：過點D作DM⊥BC于M，
∵AD，BC是它的兩條切線，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=∠BMD=90°
∴四邊形ABMD是矩形，
∴DM=AB=2，BM=AD=x，
∴CD=AD+BC=x+y，CM=BC-BM=y-x，
∵CD²=DM²+CM²，
∴（x+y）²=4+（y-x）²，
即：y=

1

x

，
∴y關于x的函數關系為：y=

1

x

，
它的圖象為：

（3）∵x，y是方程2t²-5t+m=0的兩根，由根與系數的關系得：
∴xy=

m

2

=1，
解得：m=2，
∴原方程為：2t²-5t+2=0
∴（2t-1）（t-2）=0，
解得：t=

1

2

或t=2，
∴x=

1

2

，y=2；

（4）∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是梯形，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•DM=

1

2

（x+y）•2=x+y，
∵y=

1

x

，
∴S=x+y=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，
∴S≥2．

點評：此題考查了切線的性質，梯形的性質，矩形的判定與性質，勾股定理，反比例函數的性質以及幾何不等式的應用．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用，注意輔助線的作法．