Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側，B點的坐標為（，），與y軸交于C（，）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）若拋物線的頂點為點D，求△BCD的面積；

（3）設M是（1）所得拋物線上第四象限內的一個動點，過點M作直線l⊥x 軸于點F，交直線BC于點N。試問：線段MN的長度是否存在最大值？若存在，求出它最大值及此時M點的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）y=x2﹣2x﹣3;（2）3;（3）

【解析】

試題分析：（1）將B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數的值；（2）過點D作DE⊥y軸于點E,則∠DEC=∠BOC=90°根據B（，），C（，）可得OB=3,OC=3 把y=x2﹣2x﹣3 配方的為：求出頂點D（1，-4），所以可得OE=4，DE=1 ，CE=OE-OC=4-3=1，從而求出△BCD的面積

（3）設直線BC的關系式為，將 B（，），C（，）帶入中，求得直線DE的關系式為，根據點M在拋物線上，點N在直線BC上，MN⊥x 軸于點F，M、N在第四象，求出線段MN長度有最大值即可求出此時M點的坐標

試題解析：【解析】
（1）將B（，），C（，）兩點的坐標代入得 ：

解得：b=-2,c=-3；

所以二次函數的表達式為：y=x2﹣2x﹣3

（2）過點D作DE⊥y軸于點E,則∠DEC=∠BOC=90°

∵B（，），C（，）∴OB=3,OC=3

y=x2﹣2x﹣3 配方的：

∴D（1，-4）

∴OE=4，DE=1 ∴CE=OE-OC=4-3=1

∴

．

（3）設直線BC的關系式為

將 B（，），C（，）帶入中

則

解得k=1，n=-3

∴直線DE的關系式為

∵點M在拋物線上，點N在直線BC上

又∵MN⊥x 軸于點F，M、N在第四象限

∴設、

∴MF=，NF=

∴MN=

∴當時，線段MN長度有最大值為，此時M的坐標為

考點：1．待定系數法二次函數解析式的確定；2二次函數的性質；3．圖形面積的求法