Question

20．二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖，下列四個結論：
①4a+c＜0；②m（am+b）+b＞a（m≠-1）；③關于x的一元二次方程ax²+（b-1）x+c=0沒有實數根；④ak⁴+bk²＜a（k²+1）²+b（k²+1）（k為常數）．其中正確結論的個數是（　　）

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 ①根據對稱軸列式，得b=2a，由圖象可知：左交點的橫坐標大于-3，當x=-3時，y＜0，代入可得結論正確；
②開口向下，則頂點坐標的縱坐標是最大值，那么y=am²+bm+c＜a-b+c，化簡可得結論不正確；
③計算△的值作判斷；
④比較k²與k²+1的值，根據當x＞-1時，y隨x的增大而減小，由圖象得出結論．

解答 解：①因為二次函數的對稱軸是直線x=-1，由圖象可得左交點的橫坐標大于-3，小于-2，
所以-$\frac{b}{2a}$=-1，
b=2a，
當x=-3時，y＜0，
即9a-3b+c＜0，
9a-6a+c＜0，
3a+c＜0，
∵a＜0，
∴4a+c＜0，
所以此選項結論正確；
②∵拋物線的對稱軸是直線x=-1，
∴y=a-b+c的值最大，
即把x=m（m≠-1）代入得：y=am²+bm+c＜a-b+c，
∴am²+bm＜a-b，
m（am+b）+b＜a，
所以此選項結論不正確；
③ax²+（b-1）x+c=0，
△=（b-1）²-4ac，
∵a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴-4ac＞0，
∵（b-1）²≥0，
∴△＞0，
∴關于x的一元二次方程ax²+（b-1）x+c=0有實數根；
④由圖象得：當x＞-1時，y隨x的增大而減小，
∵當k為常數時，0≤k²≤k²+1，
∴當x=k²的值大于x=k²+1的函數值，
即ak⁴+bk²+c＞a（k²+1）²+b（k²+1）+c，
ak⁴+bk²＞a（k²+1）²+b（k²+1），
所以此選項結論不正確；
所以正確結論的個數是1個，
故選D．

點評 本題考查二次函數與系數關系，在解題時，注意二次函數的系數與其圖象的形狀、對稱軸，特殊點的關系，靈活掌握二次函數的性質是解決問題的關鍵，學會利用圖象信息解決問題，屬于中考常考題型．