Question

△ABC內接于⊙O，BC是⊙O的直徑．
（1）過點B的切線與OA的延長線交于點P，如圖甲，若∠C=∠ABC，AB=2，求切線BP的長；
（2）過點A作AD⊥BC于D，交⊙O于H，過點B作弦BF交AD于E，交⊙O于F，且AE=BE，如圖乙．求證：=．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據BC是直徑，可得∠BAC=90°，在Rt△ABC中，∠C=∠ABC，可推出∠ABC=60°，∠C=30°，而OA=OB，可知△AOB是等邊三角形，故∠AOB=60°，OB=AB=2，又根據BP是⊙O的切線，得∠PBO=90°，在Rt△PBO中，解直角三角形可求BP；
（2）所對的圓周角為∠AHB，所對的圓周角為∠ABF，由垂徑定理可知=，則∠AHB=∠BAH，又由AE=EB可知∠BAH=∠ABF，可得∠AHB=∠ABF．
解答：（1）解：∵BC是直徑，
∴∠BAC=90°．
∵∠C=∠ABC，
∴∠ABC=60°，∠C=30°．
又OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴BO=AB=2，∠AOB=60°
∵BP是⊙O的切線，
∴∠PBO=90°．
在Rt△PBO中，PB=BO•tan∠POB=2•tan60°=；

（2）證明：∵AD⊥BC，BC是直徑，
∴=．
∵AE=BE，∴∠ABF=∠BAH，
∴=，
∴=．
點評：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、切線的性質．關鍵是將證明弧相等的問題轉化為證明所對的圓周角相等．