Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC交AD于H，若CF是⊙O的直徑．
（1）求∠FCB的度數；
（2）求證：AH=

1

2

CF．

Answer 1

分析：（1）首先連接BF，根據在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等與半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，易求得∠FCB的度數為30°；
（2）連接AF，由半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，易證得四邊形FBHD是平行四邊形，繼而可得AH=FB，又由FB=

1

2

CF，即可證得AH=

1

2

CF．

解答：解：（1）連接BF，則∠F=∠BAC=60°，
∵CF是⊙O的直徑，
∴∠FBC=90°，
∴∠FCB=90°-∠F=30°；

（2）證明：連接AF，
∵CF是⊙O的直徑，
∴∠FAC=90°，
∴FA⊥AC，
∵BE⊥AC，
∴FA∥BE，
∵∠FBC=90°，
∴FB⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴FB∥AD，
∴四邊形FBHA是平行四邊形，
∴AH=FB，
在Rt△FBC中，∠FCB=30°，
∴FB=

1

2

FC，
即AH=

1

2

FC．

點評：此題考查了圓周角定理、平行四邊形的判定與性質、直角三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是準確作出輔助線，掌握半圓（或直徑）所對的圓周角是直角定理的應用．