Question

12．在矩形ABCD中，AD=4，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為E，EB=$\frac{1}{2}$OB，求AE的長．

Answer 1

分析 由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，易證得△OAB是等邊三角形，繼而求得∠BAE的度數，由△OAB是等邊三角形，求出∠ADE的度數，又由AD=4，即可求得AE的長．

解答 解：在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，
∴AC=BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，
∴OA=OB，
∵EB=$\frac{1}{2}$OB，AE⊥BD，
∴OA=AB  即OA=AB=OB，
∴△ABO是等邊三角形．
即：∠ABO=60°
在矩形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠ADO=30°，
在Rt△AED中，∠AED=90°，∠ADO=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=2．

點評 此題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質以及含30°角的直角三角形的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．