Question

如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=+1，AD=．
（1）如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點D恰好落在AB邊上的D′處，壓平折痕交CD于點E，則折痕AE的長為______；
（2）如圖③，再將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，B′C′交AE于點F，則四邊形B′FED′的面積為______；
（3）如圖④，將圖②中的△AED′繞點E順時針旋轉α角，得△A′ED″，使得EA′恰好經過頂點B，求弧D′D″的長．（結果保留π）

Answer 1

解：（1）∵△ADE反折后與△AD′E重合，
∴AD′=AD=D′E=DE=，
∴AE===；

（2）∵由（1）知AD′=，
∴BD′=1，
∵將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，
∴B′D′=BD′=1，
∵由（1）知AD′=AD=D′E=DE=，
∴四邊形ADED′是正方形，
∴B′F=AB′=-1，
∴S_{梯形B′FED′}=（B′F+D′E）•B′D′=（-1+）×1=-；
故答案為：（1）；（2）-；

（3）∵∠C=90°，BC=，EC=1，
∴tan∠BEC==，
∴∠BEC=60°，
由翻折可知：∠DEA=45°，
∴∠AEA′=75°=∠D′ED″，
∴==．
分析：（1）先根據圖形反折變換的性質得出AD′，D′E的長，再根據勾股定理求出AE的長即可；
（2）由（1）知，AD′=，故可得出BD′的長，根據圖形反折變換的性質可得出B′D′的長，再由等腰直角三角形的性質得出B′F的長，根據梯形的面積公式即可得出結論；
（3）先根據直角三角形的性質求出∠BEC的度數，由翻折變換的性質可得出∠DEA的度數，故可得出∠AEA′=75°=∠D′ED″，由弧長公式即可得出結論．
點評：本題考查的是圖形的翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵．