Question

（2012•高淳縣一模）如圖，一張矩形紙片ABCD中，AD＞AB．將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)D落到BC邊上的點(diǎn)D′，折痕AE交DC于點(diǎn)E．
（1）試用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)D′和折痕AE（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連接DD′、AD′、ED′，則當(dāng)∠ED′C=

30

°時(shí)，△AD′D為等邊三角形；
（3）若AD=5，AB=4，求ED的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）以AD長(zhǎng)為半徑畫弧與BC交于點(diǎn)D′，再做出∠DAD′的平分線，即可得出符合要求的圖形；
（2）利用等邊三角形的判定，得出當(dāng)∠ED′C=30°時(shí)，△AD′D為等邊三角形；
（3）利用勾股定理以及翻折變換性質(zhì)得出DE=D′E=x，EC=4-x，進(jìn)而得出即可．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）當(dāng)∠ED′C=30°時(shí)，
∵DE=D′E，∴∠ED′D=∠D′DE，
∵∠ED′C=30°，
∠ED′D+∠D′DE+∠ED′C=90°，
∴∠ED′D=∠D′DE=30°，
∴∠ADD′=60°，
∵AD=AD′，
∴△AD′D為等邊三角形，
故答案為：30；

（3）∵AD=5，AB=4，
∴AD′=5，
∴BD′=

AD′2-AB2

=3，
∴CD′=5-3=2，
設(shè)DE=D′E=x，
則EC=4-x，
故EC²+D^′C²=D^′E²，
即（4-x）²+2²=x²，
解得：x=

5

2

，
故ED的長(zhǎng)為：

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的翻折變換以及勾股定理和基本作圖，熟練應(yīng)用翻折變換圖形翻折前后圖形不變是解決問題的關(guān)鍵．