Question

加試卷
（1）如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=2，∠ADB=30°，現將矩形紙片沿對角線BD折疊，（使△CBD和△EBD落在同一平面內）則AE兩點間的距離為

2

．
（2）求x的值，3^2x+1+9^x+1=36．
（3）如圖2，廠A和工廠B被一條河隔開，它們到河的距離都是2km，兩個廠的水平距離都是3km，河寬1km，現在要架一座垂直于河岸的橋，使工廠A到工廠B的距離最短．（河的兩岸是平行的）
①請畫出架橋的位置．（不寫畫法）
②求從工廠A經過橋到工廠B的最短路程．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質，折疊的性質可證△ABD≌△EDB，根據全等三角形對應邊上的高相等，可證四邊形ABDE為梯形，再根據角的關系證明△ABE為等腰三角形即可．
（2）首先把算式變形為3^2x×3+3^2x×9=36，再提取公因式3^2x，可得3^2x（3+9）=36，進而得到3^2x=3，即2x=1，再解方程即可；
（3）①根據兩點間直線距離最短，使AMNA′為平行四邊形即可，即AA′垂直河岸且等于河寬，接連A′B，
②根據已知數據由勾股定理求出A′B的長即可．

解答：解：（1）由矩形的性質可知△ABD≌△CDB，由折疊的性質可知△CDB≌△EDB，
∴△ABD≌△EDB，
根據全等三角形對應邊上的高相等，可知AE∥BD，
∵AD∥BC，△CDB≌△EDB，
∴∠EBD=∠CBD=∠ADB=30°，
∴∠ABE=90°-∠EBD-∠CBD=30°，
∠AEB=∠EBD=30°，即∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=2；
故答案為：2；

（2）由3^2x×3+9^x×9=36，
得3^2x×3+3^2x×9=36，
有3^2x（3+9）=36，
∴3^2x=3，
2x=1，
解得：x=

1

2

，

（3）①如圖所示，AA′=1km，則MN為架橋的位置．
②過點B作BE⊥AA′交其延長線于點E．
則A′E=4，BE=3，
A′B=

A′E2+BE2

=

42+32

=5，
則從A到B的最短路程是：
AM+MN+BN
=A′B+MN
=5+1
=6（km）．
答：從工廠A經過橋到工廠B的最短路程是6km．

點評：此題主要考查了翻折變換的性質以及平行四邊形的性質和冪的乘方與積的乘方等知識，根據已知得出A′B是解題關鍵．